x^2+y^2 +4y+1=0 (1)求y-2x的取值范围

数形结合。
整理圆的方程，得x^2+（y-2)^2=3
圆心C(0,2)，半径√3
设与圆相切的直线方程为y=2x+b
|b-2|/√5=√3
得b=2+√15 或b=2-√15
画图可知。y-2x∈[2-√15,2+√15]

令a=y-2x
y=2x+a
代入
x^2+(2x+a)^2+4(2x+a)+1=0
5x^2+(4a+8)x+a^2+4a+1=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以(4a+8)^2-20(a^2+4a+1)>=0
-4a^2-16a+44>=0
a^2+4a-11<=0
-2-√15<=a<=-2+√15
所以-2-√15<=y-2x<=-2+√15

令y-2x=k，即y=k+2x代入得
x^2+4x^2+4kx+k^2-4k-8x+1=0
即5x^2+(4k-8)x+k^2-4k+1=0
△=(4k-8)^2-4*5*(k^2-4k+1)=-4k^2+16k+44≥0
即k^2-4k-11≤0
解得2-√15≤k≤2+√15

先把方程配成圆的标准方程，然后设y-2x=z,该直线与圆相切，求出的z值，但要注意z的正负性。试试吧！

用线性规划很简单，原方程在坐标系中是以(0，-2)为圆心，根号3为半径的圆，作出y-2x=0的图象，上下平移使其于圆相切，将切点代入其中就是最大值